Вольф Кицес (wolf_kitses) wrote,
Вольф Кицес
wolf_kitses

Categories:

Математические способности vs "чувство количества"

На элементах.ру есть статья «Математические способности детей проявляются уже в шестимесячном возрасте». А дальше идёт рассказ про то, как «Интуитивное «чувство количества» — способность приблизительно оценивать число объектов во множествах — обнаруживается у детей уже вскоре после рождения, то есть задолго до того, как ребенок начинает говорить или, тем более, учиться считать. Эта способность широко распространена и в животном мире. Американские психологи обнаружили, что дети, у которых «чувство количества» в шестимесячном возрасте развито сильнее, впоследствии успешнее овладевают арифметическими навыками. Полученные результаты — первое прямое подтверждение гипотезы о том, что уникальные для нашего вида математические способности развились на основе эволюционно древнего «чувства количества».

Видимо, автор рассказа счёл, что математические (арифметические) способности и «чувство количества» - близкие или смежные феномены. На деле же они взаимно-альтернативны, что доказывается наличием «учёных идиотов» (idiot savant) - умственно отсталых гениальных счётчиков, которые «видят» «число зёрен в куче» и не только их несравнно лучше обычных людей, но к арифметике неспособны. В великолепной книге Оливера Сакса «Человек, который принял жену за шляпу» на примере пары таких счётчиков отлично показывается, чем это «чувство количества» отлично от арифметических способностей, кои задействуют ум.

================

«Близнецы обладают исключительной, возможно, неограниченной памятью на числа. Они одинаково легко могут повторить трех-, тридцати- или трехсотзначное число. Это тоже принято приписывать наличию у них 'метода' - но так ли это? Способности к вычислительным операциям - типичный конек всех арифметических гениев и людей-счетчиков, но если протестировать эти способности у близнецов, выяснится, что вычисления даются им поразительно плохо, в полном соответствии с их коэффициентом умственного развития, равным 60. Складывают и вычитают они с ошибками, а умножения и деления вообще не понимают. Что же это такое - счетчики, не умеющие считать, не владеющие элементарной арифметикой?!

Несмотря на подобное 'невежество', близнецов продолжают называть календарными калькуляторами, голословно заключая, что их умения связаны не с памятью, а с подсознательным алгоритмом календарных вычислений. Но если вспомнить, что даже один из величайших математиков и счетчиков - Карл Фридрих Гаусс испытывал трудности с алгоритмом определения даты Пасхи, то едва ли можно поверить, что, не владея простейшими арифметическими действиями, близнецы могли разработать и успешно применять подобный алгоритм….

Если бы все дело было только в этом, то близнецы и вправду не представляли бы собой ничего особенного и таинственного. Доступные компьютерам вычислительные алгоритмы - чистая механика, и принадлежат они к области задач, а не тайн природы.

И тем не менее даже в некоторых 'цирковых' трюках близнецов есть нечто поразительное. Майкл и Джон, к примеру, могут описать погоду и события любого дня своей жизни, начиная с того времени, когда им было по четыре года. Их речь, хорошо схваченная Робертом Сильвербергом в образе Меланжио*, одновременно инфантильна, исключительно подробна и начисто лишена эмоций. Назовите им любую дату - и, повращав глазами и устремив взгляд в пространство, они примутся бесстрастно и монотонно описывать погоду, политические события и эпизоды своей собственной жизни в тот день... Нередко в их рассказах упоминаются болезненные и мучительные происшествия детства, презрение и травля со стороны окружающих, но все это сообщается ровным тоном, без намека на внутреннюю оценку или чувство. Похоже, здесь действует чисто 'документальная' память, без какого бы то ни было личного отношения, без всякого внутреннего соучастия и живой струны.

Можно предположить, что эмоции вытеснены из памяти близнецов в результате защитной реакции, свойственной обсессивному и шизоидному типу (к которому, безусловно, принадлежат Майкл и Джон), но гораздо вероятнее, что их воспоминания по самой своей природе документальны и бесстрастны. Отсутствие связи с личностью является ключевой характеристикой подобного рода эйдетической памяти.

Память эта, несмотря на незрелость и безликость, заслуживает дополнительного внимания в силу особых свойств, обычно упускаемых профессионалами, однако заметных любому неподготовленному, но способному удивляться наблюдателю. Поражают прежде всего ее колоссальные масштабы, отсутствие у нее всяких видимых пределов, а также самый способ извлечения воспоминаний. Если спросить близнецов, как удается им удерживать в голове трехсотзначные числа и триллионы событий сорока лет жизни, они ответят просто: 'Мы это видим'. Визуализация - необычайной интенсивности, неограниченного радиуса и абсолютной достоверности - является ключом к пониманию происходящего. Вероятно, это врожденное физиологическое свойство их мозга, похожее на те способности к внутреннему усмотрению, которые обнаружил А. Р. Лурия у своего мнемониста (хотя, скорее всего, у близнецов отсутствует такая яркая синестезия и сознательная организация воспоминаний, как у знаменитого луриевского пациента).

Я считаю, что близнецам доступна гигантская панорама, что-то вроде ландшафта или горного рельефа - пространство всего, что они когда-либо слышали, видели, думали и делали. В мгновение ока, заметное извне как краткое вращение зрачков и фиксация взгляда, они могут обнаружить и разглядеть мысленным взором все, что находится в этом безмерном ландшафте.

Такая память очень необычна, но не уникальна. Она встречается и у других людей, но мы почти ничего не знаем о ее происхождении и механизме. Есть ли в близнецах помимо нее еще хоть что-нибудь более глубокое и интересное? Думаю, что есть.

Известна история о том, как в девятнадцатом веке сэр Герберт Окли, эдинбургский профессор музыки, оказавшись как-то в деревне и услышав визг поросенка, тут же закричал 'соль-диез!' Кто-то подбежал к роялю проверить - звук и вправду оказался соль-диезом. Именно этот забавный эпизод напомнило мне мое первое, неожиданное и удивительное знакомство с природным талантом, с 'естественным' режимом существования близнецов.

Однажды я увидел, как с их стола упал коробок спичек, и его содержимое рассыпалось по полу. 'Сто одиннадцать!' - одновременно закричали оба, и затем Джон вдруг прошептал: 'Тридцать семь'. Майкл повторил это число, Джон произнес его в третий раз и остановился. Мне потребовалось некоторое время, чтобы сосчитать спички, - их было 111.

- Как вы могли пересчитать их так быстро? - спросил я и услышал в ответ:

- Мы не считали. Мы просто увидели, что их сто одиннадцать.

Подобные истории рассказывают о Захарии Дэйзе, числовом вундеркинде, который, взглянув на просыпавшуюся кучку горошин, немедленно восклицал 'сто восемьдесят три' или 'семьдесят девять'. Будучи, как и близнецы, недоразвит, он по мере сил объяснял, что не считает, а 'видит' число горошин, сразу и мгновенно.

- А почему вы прошептали 'тридцать семь' и повторили три раза? - спросил я близнецов.

- Тридцать семь, тридцать семь, тридцать семь, сто одиннадцать, - в один голос ответили они.

Это меня совсем уж озадачило. Их способность мгновенно видеть стоодиннадцатность была удивительна, но, пожалуй, не больше, чем 'соль-диез' Окли - этакий 'абсолютный слух' на числа. Но они вдобавок еще и разложили 111 на множители, причем сделали это без всякого метода, не зная даже, что такое 'множитель'. К тому моменту я уже убедился, что они неспособны выполнять простейшие вычисления и не понимают умножения и деления, - и вот теперь у меня на глазах они вдруг разложили составное число на три равные части.

- Как вы это посчитали? - спросил я с любопытством - и в ответ опять услышал путаные объяснения, сводящиеся к тому, что они не считали, а просто 'увидели'. Возможно, понятий для передачи этого действия вообще не существует. Джон сделал жест тремя растопыренными пальцами, показывая что-то неопределенное - то ли как они разрезали число натрое, то ли что оно само по себе разделилось на три равные части в результате спонтанного числового 'распада'.

Моя реакция их сильно удивила, как будто это я был незрячим; жест Джона отчетливо говорил о некой очевидной им, непосредственно воспринимаемой реальности. Возможно ли, спрашивал я себя, что они каким-то образом прямо усматривают характеристики чисел, причем не как абстрактные атрибуты, а как доступные ощущению конкретные свойства? Более того, не просто изолированные качества, как, например, 'стоодиннадцатность', а свойства отношений, подобно тому как сэр Герберт Окли слышал третьи и пятые доли тона в музыкальных интервалах!

Наблюдая, как близнецы 'рассматривают' события и даты, я уже понял, что они удерживают в памяти огромную мнемоническую ткань, гигантский, может быть, бесконечный ландшафт, в котором факты существуют не только по отдельности, но и в соотношении друг с другом. И все же неумолимая и хаотическая документальная лента, крутившаяся в их мозгу, состояла главным образом из изолированных эпизодов, а не из осмысленных отношений между ними. Осознав это, я подумал, что, возможно, удивительная способность близнецов к визуализации - способность вполне практическая и совершенно отличная от концептуализации - позволяла им непосредственно видеть абстрактные связи и соотношения, как случайные, так и существенные. Если близнецы были в состоянии ухватить взглядом 'стоодиннадцатность', что мешало им усматривать чудовищно сложные созвездия и плеяды чисел - видеть, распознавать, соотносить и сравнивать, причем полностью чувственным, неинтеллектуальным образом?...

…Возможно, - продолжал я цепь рассуждений, - сроднившиеся с числами близнецы, одним взглядом схватывая 'стоодиннадцатность', могли видеть в уме и всю числовую 'лозу', все ее числа-ветки, числа-листья и числа-ягоды. Поразительная, быть может, абсурдная, почти немыслимая гипотеза - но ведь все их способности, с которыми я уже познакомился, казались настолько странными, что почти не поддавалось разумению. И, судя по всему, это была лишь малая толика их талантов.

Я безуспешно попытался продумать все это до конца, а потом бросил и забыл - до второго, неожиданного и чудесного происшествия.

На этот раз я натолкнулся на близнецов случайно. Таинственно улыбаясь, они сидели рядышком в углу в состоянии какого-то странного покоя и блаженства. Стараясь их не спугнуть, я незаметно подкрался поближе и понял, что они были погружены в какую-то особую, чисто числовую беседу: Джон называл шестизначное число, Майкл, кивнув, подхватывал его, улыбался и, казалось, пробовал на вкус, а затем сам отвечал шестизначным числом, которое Джон в свою очередь принимал с глубоким удовлетворением. Близнецы были похожи на двух знатоков вин, обнаруживших во время дегустации редкий букет и смаковавших его. Незамеченный ими, я сидел неподвижно, как зачарованный, пытаясь понять, что происходит.

Чем они занимались? Возможно, это была особого рода игра, но в ней угадывалась такая торжественность, такая спокойная, созерцательная и почти священная глубина, какой я никогда не встречал в обычных играх. Мне всегда казалось, что возбужденно-рассеянные близнецы к этому не способны. Я удовлетворился тем, что записал все числа, которыми они обменивались, - числа, которые приводили их в такой восторг и которые они, слившись в единое целое, так странно перебирали и смаковали.

Скрывался ли в этих числах какой-либо реальный, универсальный смысл, думал я по дороге домой, или же они обладали только игровым и личным смыслом, который часто возникает, когда братья и сестры изобретают себе секретный шутливый язык? Мне пришли на память пациенты Лурии[1] Леша и Юра - однояйцовые близнецы с повреждениями головного мозга и нарушениями речи. Лурия замечательно описывает, как они играли вдвоем, что-то лепеча между собой на 'птичьем', невнятном, им одним доступном наречии. Джон и Майкл зашли еще дальше. Они не нуждались ни в словах, ни в полусловах и просто перебрасывались числами. Были ли это 'борхесовские', 'фунесовские' числа, ягоды числовой лозы, гривы жеребцов, созвездия - секретные числоформы, что-то вроде арифметического диалекта, на котором могли говорить только сами близнецы?

Добравшись домой, я первым делом вытащил таблицы степеней, множителей, логарифмов и простых чисел - остатки того далекого и странного периода моего детства, когда я сам слегка помешался на числах, 'видел' их и бредил ими. Возникшее у меня подозрение теперь подтвердилось. Все шестизначные числа, которыми обменивались близнецы, были простыми - то есть числами, которые без остатка делятся только на себя и на единицу. В голове моей роились вопросы. Возможно, они где-то узнали о таких числах - к примеру, воспользовались такой же, как у меня, таблицей? Или же Майкл и Джон каким-то невообразимым образом видели простые числа - так же, как видели они 111 или три по 37? В любом случае, вычислять простые числа они никак не могли - они не были способны ни к каким вычислениям.

На следующий день я вернулся в больницу, прихватив с собой драгоценную таблицу. Близнецы снова были погружены в свое числовое общение, но на этот раз я тихо к ним подошел. Сначала они слегка растерялись, но, убедившись, что мешать им я не собирался, возобновили прежнюю 'игру' с шестизначными числами. Через несколько минут, решив поучаствовать, я рискнул назвать восьмизначное число. Близнецы повернулись ко мне

и замерли с видом глубокой сосредоточенности и некоторого сомнения. Пауза - самая длинная из всех, которые я у них наблюдал, - продолжалась с полминуты или больше. Вдруг оба одновременно заулыбались. Осуществив головокружительный процесс внутренней проверки, они увидели, что мое восьмизначное число было простым. Это привело их в восторг, в двойной восторг: во-первых, я подарил им новую игрушку, простое число такого порядка, какого они раньше не встречали, а во-вторых, я понял и оценил их игру и принял в ней участие.

Они слегка подвинулись, освобождая место, и я уселся между ними - новый партнер, третий в их числовом мире. Джон, лидер в этой паре, надолго задумался. Это продолжалось минут пять. Я сидел, едва дыша, боясь пошевелиться. Наконец Джон назвал девятизначное число. Майкл, подумав, ответил другим таким же. Наступила моя очередь, и я, тайком заглянув в таблицу, внес свой нечестный вклад - десятизначное число.

Опять последовала тишина, еще более длительная и сосредоточенная, чем раньше, и Джон, после какого-то невероятного внутреннего созерцания, назвал двенадцатизначное число. Я не мог ни проверить его, ни назвать свое в ответ, поскольку моя таблица (насколько мне было известно, единственная в своем роде) дальше десяти знаков не шла. Но то, перед чем спасовала таблица, Майклу оказалось вполне по плечу, хотя и заняло у него еще пять минут. Через час близнецы уже вовсю обменивались двадцатизначными числами. Предполагаю, что они тоже были простыми, но проверить этого я не мог. Тогда, в 1966 году, такую проверку могли осуществить только самые мощные компьютеры, и то это было непросто, даже с помощью решета Эратосфена[2] или любого другого алгоритма. Прямого способа вычисления простых чисел такого порядка вообще не существует - и тем не менее близнецы это делали.

Я снова подумал о Дэйзе, о котором читал много лет назад в великолепной книге Ф. Майерса 'Человеческая личность' (1903). Майерс пишет: «Мы. знаем, что Дэйз (возможно, самый одаренный из таких вундеркиндов) был напрочь лишен математических способностей... И тем не менее за двенадцать лет он составил таблицы множителей и простых чисел для седьмого и почти всего восьмого миллиона - задача, на выполнение которой нормальному человеку, не пользующемуся механическими средствами, не хватило бы целой жизни». Майерс делает вывод, что Дэйз является единственным человеком в истории, который внес значительный вклад в математику, так и не сумев перейти через 'ослиный мост'[3]. Из книги Майерса неясно, пользовался ли Дэйз при составлении таблиц каким-либо методом или, как позволяют предположить проведенные с ним эксперименты, тоже 'видел' простые числа... Возможно, этот вопрос неразрешим в принципе.

Из окна своего кабинета в больнице я часто наблюдал за близнецами - за их бесконечными числовыми играми, за числовым общением, сущность которого оставалась мне недоступна.

Но, даже не зная, что происходило между ними, я был твердо уверен, что они имели дело с реальными свойствами числовых объектов, ибо случайные числа, да и вообще любая произвольность не доставляли им никакого удовольствия. В числах они искали смысл - вероятно, подобным образом музыканты ищут в звуках гармонию.

… В книге 'Нить жизни' (1984) Ричард Вольгейм проводит резкую черту между вычислениями и 'иконическими' ментальными состояниями, заранее отвечая на возможные возражения: «Утверждение о неиконичности вычислений можно оспаривать на том основании, что мы иногда придаем им зримую форму на листе бумаги. Но подобный пример не может служить опровержением, поскольку в этом случае мы видим не вычисление как таковое, а его изображение; вычисляются числа, записываются же цифры, которые их представляют.

Лейбниц, напротив, проводит многообещающую аналогию между числами и музыкой. «Наслаждение, доставляемое нам музыкой, - пишет он, - проистекает из исчисления, но исчисления бессознательного. Музыка есть не что иное, как бессознательная арифметика».

Как же следует понимать особые способности близнецов и им подобных? Композитор Эрнст Тох, по словам его внука Лоуренса Вешлера, услышав раз, удерживал в памяти длиннейшие серии чисел; метод его заключался в превращении числовых последовательностей в соответствующие им мелодии. Джедедия Бакстон, один из наиболее неуклюжих и упорных счетчиков всех времен, одержимый неподдельной и, возможно, патологической страстью к счету (по его собственным словам, он 'пьянел от вычислений'), напротив, превращал музыку и даже драму в числа. 'Во время танца, - сообщает одно из свидетельств 1754 года, - его внимание занимало количество шагов; об утонченном музыкальном произведении он заявил однажды, что был совершенно сбит с толку бессчетным набором составляющих его звуков; даже явившись на представление знаменитого Гаррика*, он только тем и занимался, что считал произнесенные слова, в чем, как сам утверждает, вполне преуспел'.

Здесь мы сталкиваемся с двумя изящными крайностями - музыкант, превращающий числа в музыку, и счетчик, превращающий музыку в числа. Вряд ли существуют более противоположные типы мышления.

Я полагаю, что близнецы, не способные ни к каким вычислениям, но глубоко чувствующие числа, ближе не к Бакстону, а к Тоху. Но Майкл и Джон (и это нелегко представить себе нам, нормальным людям) не переводят числа на язык музыки, а воспринимают их непосредственно, как мы воспринимаем образы, звуки и разнообразные формы самой природы. Они не счетчики и обращаются с числами иконически. Близнецы пробуждают к жизни числовые существа и обитают в странных числовых пространствах; они свободно перемещаются по гигантским числовым ландшафтам. Драматурги чисел, они создают из них целую вселенную. Их мышление не похоже ни на какое другое, и одна из самых странных его особенностей в том, что оно имеет дело только с числами. Близнецы не оперируют числами, как машины, на основании инструкций, но видят их непосредственно: их числовая вселенная представляет собой огромный природный театр, заполненный бесконечными персонажами.

Если начать искать в истории аналоги такой иконичности, то их можно обнаружить среди ученых. Дмитрий Менделеев, к примеру, носил с собой выписанные на карточки численные характеристики химических элементов, пока не усвоил их так основательно, что думал о них уже не как о наборах свойств, а (по его собственным словам) 'как о знакомых лицах'. Он видел элементы графически, личностно, как членов семьи, и из их периодически организованной совокупности складывалось для него единое химическое лицо вселенной. Подобное научное мышление является, по существу, иконическим и видит всю природу, как лица, картины и, возможно, музыку. Это видение, это внутреннее зрение, переплетенное с ощущениями, несмотря на свой субъективный характер, неотъемлемо связано с внешней реальностью и, возвращаясь от психического к физическому, составляет завершающую, объективирующую фазу такой науки. ('Философ вслушивается в эхо симфонии мира внутри себя, - пишет Ницше, - и проецирует его обратно на мир в виде понятий и категорий').

Я подозреваю, что слабоумные близнецы слышали симфонию мира - но исключительно в числовой форме.

Душа 'гармонична' независимо от показателя умственного развития, и для некоторых - например, для физиков и математиков - эта гармония главным образом интеллектуальна. Но я не могу представить себе никакой интеллектуальный объект, который не был бы одновременно чувственным; интересно, что английское слово sense означает одновременно и смысл (разум), и чувство (ощущение). Чувственный же объект, в свою очередь, не может не являться личностным, ибо нельзя чувствовать что-то не имеющее отношения к личности. Так, могучая архитектоника Баха может быть 'таинственным, отраженным опытом целого мира' (как это было для Мартина А.), но одновременно она является знакомой, неповторимой и дорогой нам музыкой. Сам Мартин остро ощущал эту двойственность - музыка Баха была для него неотделима от любви к отцу.

Близнецы, я думаю, не просто наделены необычными дарованиями - нет, в них существует особая восприимчивость к гармонии, сходная с музыкальным чувством. Эту восприимчивость можно по праву назвать 'пифагорейской' - и удивляться следует не тому, что она встречается, а тому, как редко это происходит. Повторяю, душа 'гармонична' независимо от коэффициента умственного развития, и потребность найти и почувствовать высшую гармонию, высший порядок в любой доступной форме является, похоже, универсальным свойством разума, независимо от его мощности.

==================

То есть последующий бОльший успех детей с более развитым «чувством количества» в арифметике должен объясняться как-то иначе, тем более что авторы статьи отмечают, что это влияние объясняет очень небольшую долю дисперсии.






[1]См. Лурия А. Р., Юдович Ф. Я. Речь и развитие психических процессов у ребенка. Экспериментальное исследование. М: 1956.

[2]Решето Эратосфена - древний алгоритм для вычисления простых чисел, при котором пишется подряд числовой ряд, а потом вычеркивается каждое второе число (то есть все числа, делящиеся на 2), потом каждое третье (то есть все числа, делящиеся на 3), затем делящиеся на 5, на 7 и т. д. Все оставшиеся после такой процедуры числа будут простыми.

[3] Ослиным мостом в средние века называли теорему Пифагора, а учеников, не способных ее понять и зазубривавших наизусть, - ослами.

Tags: Л.С.Выготский, книги, психика, психология личности, физиология ВНД
Subscribe
  • Post a new comment

    Error

    Anonymous comments are disabled in this journal

    default userpic

    Your IP address will be recorded 

  • 9 comments